Mathematics - Functions Question with Solution | TestHub

Given $f\left(x\right)={\sin }^{-1}\left[2x^2-3\right]+{\log }_2\left({\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-5x+5\right)\right)$

For $f\left(x\right)$ to be defined

$-1\le \left[2x^2-3\right]<1$

$\Rightarrow -1\le 2x^2-3<2$

$\Rightarrow 2<2x^2<5$

$\Rightarrow 1<x^2<\frac{5}{2}$

i.e. $x\in \left(-\sqrt{\frac{5}{2}},-1\right)\cup \left(1,\sqrt{\frac{5}{2}}\right) ...\left(i\right)$

and $x^2-5x+5>0$

$\Rightarrow \left(x-\left(\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right)\right)>0$

i.e. $\left(-\infty ,\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{5+\sqrt{5}}{2},\infty \right) ...\left(ii\right)$

Also ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-5x+5\right)>0$

$\Rightarrow x^2-5x+5<1$

$\Rightarrow x^2-5x+4<0$

i.e. $x\in \left(1,4\right) ...\left(iii\right)$

From $\left(i\right), \left(ii\right) \& \left(iii\right)$

So, $x\in \left(1,\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right)$