Physics - Unit & Dimension Question with Solution | TestHub

$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{ }\left[\mathrm{\eta }\right]\equiv \left[\frac{\mathrm{F}\mathrm{r}}{\mathrm{A}\mathrm{v}}\right]\equiv \frac{\left[\mathrm{M}\mathrm{L}{\mathrm{T}}^{-2}\right]\left[\mathrm{L}\right]}{\left[{\mathrm{L}}^2\right]\left[\mathrm{L}{\mathrm{T}}^{-1}\right]}$

$\mathrm{ }\left[\mathrm{\eta }\right]\equiv \left[\mathrm{M}{\mathrm{L}}^{-1}{\mathrm{T}}^{-1}\right]$

Dimensions of$\mathrm{\mu }=\mathrm{F}{\mathrm{r}}^{\mathrm{n}}$

$\left[\mathrm{\mu }\right]=\left[\mathrm{M}\mathrm{L}{\mathrm{T}}^{-2}\right]{\mathrm{L}}^{\mathrm{n}}$

$\left[\mathrm{\mu }\right]=\mathrm{M}{\mathrm{L}}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{T}}^{-2}$

Let$\mathrm{‘}\mathrm{\eta }\mathrm{’}$depend on mass$\mathrm{m}$mean speed$\mathrm{v}$and constant$\mathrm{\mu }$as -

$\mathrm{\eta }\propto {\mathrm{m}}^{\mathrm{a}}{\mathrm{v}}^{\mathrm{b}}{\mathrm{\mu }}^{\mathrm{c}}$

$\left[\mathrm{M}{\mathrm{L}}^{-1}{\mathrm{T}}^{-1}\right]\propto {\mathrm{M}}^{\mathrm{a}}{\left[\mathrm{L}{\mathrm{T}}^{-1}\right]}^{\mathrm{b}}{\left[\mathrm{M}{\mathrm{L}}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{T}}^{-2}\right]}^{\mathrm{c}}$

$\left[\mathrm{M}{\mathrm{L}}^{-1}{\mathrm{T}}^{-1}\right]\propto {\mathrm{M}}^{\mathrm{a}+\mathrm{c}}{\mathrm{L}}^{\mathrm{b}+\mathrm{c}\left(\mathrm{n}+1\right)}{\mathrm{T}}^{-\mathrm{b}-2\mathrm{c}}$

Equating dimensions both sides

$\mathrm{a}+\mathrm{c}=1\Rightarrow \mathrm{c}=1-\mathrm{a}$

$\mathrm{b}+\mathrm{c}\left(\mathrm{n}+1\right)=-1$

$\Rightarrow \mathrm{b}=-\left[1+\mathrm{c}\left(\mathrm{n}+1\right)\right]$

$-\left(\mathrm{b}+2\mathrm{c}\right)=-1$

$\Rightarrow \mathrm{b}=1-2\mathrm{c}$

$\therefore 1-2\mathrm{c}=-\left[1+\mathrm{c}\left(\mathrm{n}+1\right)\right]$

$2\mathrm{c}-1=1+\mathrm{c}\left(\mathrm{n}+1\right)$

$2\mathrm{c}-\mathrm{c}\left(\mathrm{n}+1\right)=2$

$\mathrm{c}\left[2-\mathrm{n}-1\right]=2$

$\mathrm{c}\left[1-\mathrm{n}\right]=2$

$=\mathrm{c}=-\frac{2}{\mathrm{n}-1}$

$\mathrm{a}=1-\mathrm{c}$

$\mathrm{a}=1+\frac{2}{\mathrm{n}-1}=\frac{\mathrm{n}-1+2}{\mathrm{n}-1}$

$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}-1}$

$\mathrm{b}=1-2\mathrm{c}$

$=1+\frac{4}{\mathrm{n}-1}=\frac{\mathrm{n}-1+4}{\mathrm{n}-1}$

$\mathrm{b}=\frac{\mathrm{n}+3}{\mathrm{n}-1}$

$\therefore \mathrm{\eta }\propto {\mathrm{m}}^{\frac{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}-1}}{\mathrm{v}}^{\frac{\mathrm{n}+3}{\mathrm{n}-1}}{\mathrm{\mu }}^{-\frac{2}{\mathrm{n}-1}}$