Physics - Unit & Dimension Question with Solution | TestHub

$\left[\mathrm{h}\right]=\left[\mathrm{M}{\mathrm{L}}^2{\mathrm{T}}^{-1}\right]$
$\left[\mathrm{c}\right]=\left[\mathrm{L}{\mathrm{T}}^{-1}\right]$
$\left[\mathrm{G}\right]=\left[{\mathrm{M}}^{-1}{\mathrm{L}}^3{\mathrm{T}}^{-2}\right]$
For unit of length
Let$\mathrm{L}\propto {\mathrm{h}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{c}}^{\mathrm{y}}{\mathrm{G}}^{\mathrm{z}}$
$\Rightarrow$From principle of homogeneity
$\left[\mathrm{L}\mathrm{H}\mathrm{S}\right]=\left[\mathrm{R}\mathrm{H}\mathrm{S}\right]$
$\Rightarrow \left[{\mathrm{M}}^0\mathrm{L}{\mathrm{T}}^0\right]={\left[\mathrm{M}{\mathrm{L}}^2{\mathrm{T}}^{-1}\right]}^{\mathrm{x}}{\left[\mathrm{L}{\mathrm{T}}^{-1}\right]}^{\mathrm{y}}\mathrm{ }{\left[{\mathrm{M}}^{-1}{\mathrm{L}}^3{\mathrm{T}}^{-2}\right]}^{\mathrm{z}}$
${\mathrm{M}}^0\mathrm{L}{\mathrm{T}}^0={\mathrm{M}}^{\mathrm{x}-\mathrm{z}}\mathrm{ }\mathrm{ }{\mathrm{L}}^{2\mathrm{x}+\mathrm{y}+3\mathrm{z}}\mathrm{ }\mathrm{ }{\mathrm{T}}^{-\mathrm{x}-\mathrm{y}-2\mathrm{z}}$
Comparing we get
$\mathrm{x}-\mathrm{z}=0$
$2\mathrm{x}+\mathrm{y}+3\mathrm{z}=1$
$-\mathrm{x}-\mathrm{y}-2\mathrm{z}=0$
Solving we get,$\mathrm{x}=\frac{1}{2},\mathrm{ }\mathrm{y}=\frac{-3}{2},\mathrm{ }\mathrm{z}=\frac{1}{2}$
$\mathrm{L}=\sqrt{\frac{\mathrm{h}\mathrm{G}}{{\mathrm{c}}^3}}$
For unit of mass
Let$\mathrm{M}\propto {\mathrm{h}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{c}}^{\mathrm{y}}{\mathrm{G}}^{\mathrm{z}}$
Solving in similar manner as above
We get$\mathrm{x}=\frac{1}{2},\mathrm{ }\mathrm{y}=\frac{1}{2},\mathrm{ }\mathrm{z}=\frac{-1}{2}$
$\mathrm{M}=\sqrt{\frac{\mathrm{h}\mathrm{c}}{\mathrm{G}}}$