Physics - Gravitation Question with Solution | TestHub

Escape velocity for the earth is

${\mathrm{v}}_{\mathrm{e}}=\sqrt{\frac{2\mathrm{G}\mathrm{M}}{\mathrm{R}}}$

Given the velocity projection of the body

$=\mathrm{v}=\frac{3}{4}{\mathrm{v}}_{\mathrm{e}}=\frac{3}{4}\mathrm{ }\sqrt{\frac{2\mathrm{G}\mathrm{M}}{\mathrm{R}}}$

Total energy on the earth

$=\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{rg}\mathrm{y}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{ }\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{h}$

$\frac{1}{2}{\mathrm{m}\mathrm{v}}^2+\left(-\frac{\mathrm{G}\mathrm{M}\mathrm{m}}{\mathrm{R}}\right)=0+\left(-\frac{\mathrm{G}\mathrm{M}\mathrm{m}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}\right)$

$\frac{1}{2}\mathrm{m}\mathrm{ }.\mathrm{ }\frac{9}{16}.\mathrm{ }\frac{2\mathrm{G}\mathrm{M}}{\mathrm{R}}-\frac{\mathrm{G}\mathrm{M}\mathrm{m}}{\mathrm{R}}=-\frac{\mathrm{G}\mathrm{M}\mathrm{m}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}$

$\frac{9}{16}-1=-\mathrm{ }\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}$or$-\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}=\frac{-7}{16}$

$7\mathrm{R}+7\mathrm{h}=16\mathrm{ }\mathrm{R}$

$7\mathrm{h}=9\mathrm{R}\Rightarrow \mathrm{h}=\frac{9}{7}\mathrm{R}$