Physics - Error Question with Solution | TestHub

Energy$\mathrm{E}={\mathrm{A}}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{\alpha }\mathrm{t}}$

For small % errors, we can, do differentiation

$\mathrm{d}\mathrm{E}=2\mathrm{A}\left(\mathrm{d}\mathrm{A}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{\alpha }\mathrm{t}}+{\mathrm{A}}^2\left(-\mathrm{\alpha }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{\alpha }\mathrm{t}}\mathrm{d}\mathrm{t}\right)$

Fractional error$=\frac{\mathrm{d}\mathrm{E}}{\mathrm{E}}=\frac{2\mathrm{A}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{\alpha }\mathrm{t}}\left(\mathrm{d}\mathrm{A}\right)+\left(-\mathrm{\alpha }{\mathrm{A}}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{\alpha }\mathrm{t}}\right)\mathrm{d}\mathrm{t}}{{\mathrm{A}}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{\alpha }\mathrm{t}}}=2\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{A}}{\mathrm{A}}\right)+\left(-\mathrm{\alpha }\frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{\mathrm{t}}\right)\mathrm{t}\mathrm{ }$

% error$=2\left(1.25\mathrm{\%}\right)+\left(0.2\times 1.5\mathrm{\%}\right)\times 5$

$=4\mathrm{\%}$(errors always add up)

Alternate solution:

$\mathrm{E}={\mathrm{A}}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{\alpha }\mathrm{t}}$

Taking natural logarithm on both sides,

$\mathcal{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{E}\right)=\mathcal{l}\mathrm{n}\left({\mathrm{A}}^2\right)+\left(-\mathrm{\alpha }\mathrm{t}\right)$

Differentiating

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{E}}{\mathrm{E}}=2\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{A}}{\mathrm{A}}\right)+\left(-\mathrm{\alpha }\mathrm{d}\mathrm{t}\right)$

For small fractional erros, errors always add up

$\left|\frac{\mathrm{d}\mathrm{E}}{\mathrm{E}}\right|=2\left|\frac{\mathrm{d}\mathrm{A}}{\mathrm{A}}\right|+\mathrm{\alpha }\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{\mathrm{t}}\right)\times \mathrm{t}$

$=2\left(1.25\mathrm{\%}\right)+\left(0.2\right)\left(1.5\mathrm{\%}\right)5\mathrm{ }$

$=4\mathrm{\%}$