Mathematics - Vector Question with Solution | TestHub

Let $\mathrm{P}\left(\mathrm{t}, \mathrm{t}-2, \mathrm{t}\right)$ and $\mathrm{Q}\left(2\mathrm{s}-2, \mathrm{s}, \mathrm{s}\right)$

$\mathrm{DR}\text{'}\mathrm{s}$ of $\mathrm{PQ}$ are $\left(2, 1, 2\right)$

$\Rightarrow \frac{2 \mathrm{s}-2-\mathrm{t}}{2}=\frac{\mathrm{s}-\mathrm{t}+2}{1}=\frac{\mathrm{s}-\mathrm{t}}{2}$

$\Rightarrow \frac{2\mathrm{s}-2-\mathrm{t}}{2}=\frac{\mathrm{s}-\mathrm{t}+2}{1}$

$\Rightarrow 2\mathrm{s}-2-\mathrm{t}=2\mathrm{s}-2\mathrm{t}+4$

$\Rightarrow \mathrm{t}=6$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{s}-\mathrm{t}+2}{1}=\frac{\mathrm{s}-\mathrm{t}}{2}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{s}-6+2}{1}=\frac{\mathrm{s}-6}{2}$

$\Rightarrow 2\mathrm{s}-8=\mathrm{s}-6$

$\Rightarrow \mathrm{s}=2$

$\Rightarrow \mathrm{P}\left(6,4,6\right)$ and $\mathrm{Q}\left(2, 2, 2\right)$

$\mathrm{PQ}:\frac{\mathrm{x}-2}{2}=\frac{\mathrm{y}-2}{1}=\frac{\mathrm{z}-2}{2}=\mathrm{\lambda }$

$\Rightarrow \mathrm{x}=2\mathrm{\lambda }+2, \mathrm{y}=\mathrm{\lambda }+2 \text{and} \mathrm{z}=2\mathrm{\lambda }+2$

Let, $\mathrm{F}(2\mathrm{\lambda }+2,\mathrm{\lambda }+2,2\mathrm{\lambda }+2)$

$\mathrm{A}\left(1,2,12\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AF}}·\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=0$

$\Rightarrow 2\left(2\mathrm{\lambda }+1\right)+1\left(\mathrm{\lambda }\right)+2\left(2\mathrm{\lambda }-10\right)=0$

$\Rightarrow 4\mathrm{\lambda }+2+\mathrm{\lambda }+4\mathrm{\lambda }-20=0$

$\Rightarrow \mathrm{\lambda }=2$

So $\mathrm{F}\left(6, 4, 6\right)$ and $\mathrm{AF}=\sqrt{65}$

$\Rightarrow l^2=65$