Mathematics - Vector Question with Solution | TestHub

 $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=1$

${\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\right|}^2=8$

$\Rightarrow 1+1-2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+1+1-2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}=8$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}=-2$

Now ${\left|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}\right|}^2$

$={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+4{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+4\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+4{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+4\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}$

$=2{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+4{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+4{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+4\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}\right)$

$=2+4+4+4\left(-2\right)$

$=2$