Mathematics - Matrices Question with Solution | TestHub

$\begin{array}{rl}& |A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& -1& 2\end{array}\right|=-1\\ & \lambda (16)-2(-34)+3(-39)=-1\\ & 16\lambda =48\Rightarrow \lambda =3\\ & {\mathrm{B}}^{-1}=\mathrm{adj}\left(\mathrm{A}\cdot \mathrm{adj}\left({\mathrm{A}}^2\right)\right)\\ & \text{ Let }\mathrm{C}=\mathrm{A}\cdot \mathrm{adj}\left({\mathrm{A}}^2\right)\\ & AC=A^2\mathrm{adj}\left(A^2\right)=|A{|}^2\cdot I=I\Rightarrow C=A^{-1}\\ & \text{ Now }{B}^{-1}=\mathrm{adj}\left(A^{-1}\right)=B=\mathrm{adj}(A)\\ & \text{ Now }\lambda \mathrm{B}+\mathrm{I}\Rightarrow 3\mathrm{B}+\mathrm{I}\\ & \text{ Let }\mathrm{P}=3\mathrm{B}+\mathrm{I}\\ & \text{ P }=3\mathrm{adj}(\mathrm{A})+\mathrm{I}\\ & \mathrm{AP}=3\mathrm{Aadj}(\mathrm{A})+\mathrm{A}\\ & \mathrm{AP}=3|\mathrm{A}|\cdot \mathrm{I}+\mathrm{A}\\ & \mathrm{AP}=\mathrm{A}-3\mathrm{I}\\ & |\mathrm{AP}|=|\mathrm{A}-3\mathrm{I}|\\ & |\mathrm{A}|\cdot |\mathrm{P}|=\left|\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 4& 2& 6\\ 7& -1& -1\end{array}\right|=38\\ & |\mathrm{P}|=-38\end{array}$