Mathematics - Matrices Question with Solution | TestHub

$A=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta & -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta & \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \end{array}\right]\Rightarrow \left|A\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta & -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta & \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \end{array}\right|={\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\theta +{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\theta =1$

And$adj\left(A\right)=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta & \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \\ -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta & \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \end{array}\right]$

$\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}adj\left(A\right)=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta & \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \\ -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta & \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \end{array}\right]$

$\Rightarrow A^{-2}={\left(A^{-1}\right)}^2=\left(A^{-1}\right)\left(A^{-1}\right)$

$=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta & \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \\ -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta & \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta & \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \\ -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta & \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\theta -{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\theta & 2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \\ -2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta & {\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\theta -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\theta \end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\theta & \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\theta \\ -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\theta & \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\theta \end{array}\right]$

It is visible that

${\left(A^{-1}\right)}^n=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta & \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta \\ -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta & \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta \end{array}\right]$

$\Rightarrow A^{-50}={\left(A^{-1}\right)}^{50}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}50\theta & \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}50\theta \\ -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}50\theta & \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}50\theta \end{array}\right]$

Now at$\theta =\frac{\pi }{12},\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}50\theta =\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{50\pi }{12}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}50\theta =\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow A^{-50}=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{-1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]$