Mathematics - Matrices Question with Solution | TestHub

Given:

$A^{2}B=A^2+B$

$\Rightarrow A^{2}B-A^2-B+I=I$

$\Rightarrow A^2\left(B-I\right)-\left(B-I\right)=I$

$\Rightarrow \left(A^2-I\right)\left(B-I\right)=I$

$\Rightarrow \left(A^2-I\right)\left(B-I\right){\left(B-I\right)}^{-1}=I{\left(B-I\right)}^{-1}$

$\Rightarrow \left(A^2-I\right)={\left(B-I\right)}^{-1}$

Also,

$A^2+B=A^{2}B$

$\Rightarrow A^2\left(B-I\right)=B$

$\Rightarrow A^2=B{\left(B-I\right)}^{-1}$

$\Rightarrow A^2=B\left(A^2-I\right)$

$\Rightarrow A^2=B{A}^2-B$

$\Rightarrow A^2+B=B{A}^2$

$\Rightarrow A^{2}B=B{A}^2$