Mathematics - Matrices Question with Solution | TestHub

Given, $A={\left[a_{ij}\right]}_{3\times 3}$ where $a_{ij}=2^{j-i}$ we get,

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ \frac{1}{2}& 1& 2\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& 1\end{array}\right]$

 $A^2=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ \frac{1}{2}& 1& 2\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ \frac{1}{2}& 1& 2\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& 1\end{array}\right]$

$\Rightarrow A^2=\left[\begin{array}{ccc}3& 6& 12\\ \frac{3}{2}& 3& 6\\ \frac{3}{4}& \frac{3}{2}& 3\end{array}\right]=3A$  $\Rightarrow A^3=3A^2=9A$

Now, $A^2+A^3+A^4+\cdots A^{10}$

$=3A+3^{2}A+3^{3}A+\cdots 3^{9}A$

$=3A\left[\frac{3^9-1}{3-1}\right]=A\left[\frac{3^{10}-3}{2}\right]$