Mathematics - Matrices Question with Solution | TestHub

${\mathrm{X}}^{\mathrm{T}}=-\mathrm{X},\mathrm{ }{\mathrm{Y}}^{\mathrm{T}}=-\mathrm{Y}$and${\mathrm{Z}}^{\mathrm{T}}=\mathrm{Z}$
$\mathrm{P}={\mathrm{Y}}^3{\mathrm{Z}}^4-{\mathrm{Z}}^4{\mathrm{Y}}^3$
${\mathrm{P}}^{\mathrm{T}}={\left({\mathrm{Z}}^4\right)}^{\mathrm{T}}{\left({\mathrm{Y}}^3\right)}^{\mathrm{T}}-{\left({\mathrm{Y}}^3\right)}^{\mathrm{T}}{\left({\mathrm{Z}}^4\right)}^{\mathrm{T}}$
$=\mathrm{ }{\left({\mathrm{Z}}^{\mathrm{T}}\right)}^4{\left({\mathrm{Y}}^{\mathrm{T}}\right)}^3-{\left({\mathrm{Y}}^{\mathrm{T}}\right)}^3{\left({\mathrm{Z}}^{\mathrm{T}}\right)}^4$
$=\mathrm{ }{\mathrm{Z}}^4\left(-\mathrm{ }{\mathrm{Y}}^3\right)-\left(-{\mathrm{Y}}^3\right){\mathrm{Z}}^4$
$=\mathrm{ }{\mathrm{Y}}^3{\mathrm{Z}}^4\mathrm{ }–\mathrm{ }{\mathrm{Z}}^4{\mathrm{Y}}^3\mathrm{ }=\mathrm{ }\mathrm{P}\left(\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}\right)\mathrm{ }$
$\mathrm{Q}={\mathrm{X}}^{44}+{\mathrm{Y}}^{44}$
${\mathrm{Q}}^{\mathrm{T}}={\left({\mathrm{X}}^{\mathrm{T}}\right)}^{44}+{\left({\mathrm{Y}}^{\mathrm{T}}\right)}^{44}={\mathrm{X}}^{44}+{\mathrm{Y}}^{44}=$Q(symmetric)
${\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}={\left({\mathrm{Z}}^3\right)}^{\mathrm{T}}{\left({\mathrm{X}}^4\right)}^{\mathrm{T}}-{\left({\mathrm{X}}^4\right)}^{\mathrm{T}}{\left({\mathrm{Z}}^3\right)}^{\mathrm{T}}$
$=\mathrm{ }{\left({\mathrm{Z}}^{\mathrm{T}}\right)}^3{\left({\mathrm{X}}^{\mathrm{T}}\right)}^4-{\left({\mathrm{X}}^{\mathrm{T}}\right)}^4\mathrm{ }{\left({\mathrm{Z}}^{\mathrm{T}}\right)}^3$
$=\mathrm{ }{\mathrm{Z}}^3{\left(-\mathrm{X}\right)}^4-{\left(-\mathrm{X}\right)}^4{\left(\mathrm{Z}\right)}^3$
$=\mathrm{ }{\mathrm{Z}}^3{\mathrm{X}}^4-{\mathrm{X}}^4{\mathrm{Z}}^3=-\mathrm{R}$(Skew Symmetric)
$\mathrm{S}={\mathrm{X}}^{23}+{\mathrm{Y}}^{23}$
${\mathrm{S}}^{\mathrm{T}}={\left({\mathrm{X}}^{\mathrm{T}}\right)}^{23}+{\left({\mathrm{Y}}^{\mathrm{T}}\right)}^{23}={\left(-\mathrm{X}\right)}^{23}+{\left(-\mathrm{Y}\right)}^{23}$
$=-{\mathrm{X}}^{23}-{\mathrm{Y}}^{23}=-\mathrm{S}$(Skew symmetric)