Mathematics - Limits Question with Solution | TestHub

$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{x}{\sqrt[8]{1-\sin x}-\sqrt[8]{1+\sin x}}\right)$

$=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{x}{\sqrt[8]{1-\sin x}-\sqrt[8]{1+\sin x}}\right)\times$$\left(\frac{\sqrt[8]{1-\sin x}+\sqrt[8]{1+\sin x}}{\sqrt[8]{1-\sin x}+\sqrt[8]{1+\sin x}}\right)\times$

$\left(\frac{\sqrt[4]{1-\sin x}+\sqrt[4]{1+\sin x}}{\sqrt[4]{1-\sin x}+\sqrt[4]{1+\sin x}}\right)\times$

$\left(\frac{\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}}\right)$

$=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{x}{1-\sin x-(1+\sin x)}\right)\times$

$\left(\sqrt[8]{1-\sin x}+\sqrt[8]{1+\sin x}\right)\left(\sqrt[4]{1-\sin x}+\sqrt[4]{1+\sin x}\right)\left(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}\right)$

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{(-2\sin x)}\left(\sqrt[8]{1-\sin x}+\sqrt[8]{1+\sin x}\right)\times$

$\left(\sqrt[4]{1-\sin x}+\sqrt[4]{1+\sin x}\right)\left(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}\right)$

$\mathrm{=}\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\left(-\frac{1}{2}\right)\left(2\right)\left(2\right)\left(2\right) \left\{\because \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1\right\}=-4$