Mathematics - Limits Question with Solution | TestHub

$\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{ }\frac{{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{2}x}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x}}$

On Rationalisation, we get,

     $=\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{ }\frac{{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{2}x}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x}}\times \frac{\sqrt{2}+\sqrt{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{sx}}}{\sqrt{2}+\sqrt{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{sx}}}$

$=\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{ }\frac{{\left(2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\right)}^2}{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x}\times \left(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x}\right)$

$=\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{ }\frac{4{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\frac{x}{2}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\frac{x}{2}}{2{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\frac{x}{2}}\times \left(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x}\right)$

$=\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} 2{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^2\frac{x}{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x}\right)=2\times 2\sqrt{2}$

$=4\sqrt{2}$.