Mathematics - Indefinite Integration Question with Solution | TestHub

$\begin{array}{rl}& 2{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+9=\mathrm{A}\left({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1\right)+\mathrm{B}(2\mathrm{x}+1)+\mathrm{C}\\ & \mathrm{A}=2\mathrm{B}=\frac{3}{2}\mathrm{C}=\frac{11}{2}\\ & 2\int \sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\mathrm{dx}+\frac{3}{2}\int \frac{2\mathrm{x}+1}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}\mathrm{dx}+\frac{11}{2}\int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}\\ & 2\int \sqrt{{\left(\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}\mathrm{dx}+3\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}+\frac{11}{2}\int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{{\left(\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}}\\ & 2\left(\frac{\mathrm{x}+\frac{1}{2}}{2}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}+\frac{3}{8}\ln \left(\mathrm{x}+\frac{1}{2}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\right)\right)+3\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\\ & +\frac{11}{2}\ell \mathrm{n}\left(\mathrm{x}+\frac{1}{2}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\right)+\mathrm{C}\\ & \alpha =\frac{7}{2}\beta =\frac{25}{4}\\ & \alpha +2\beta =16\\ & \end{array}$