Mathematics - Indefinite Integration Question with Solution | TestHub

$\Rightarrow I=\int x\sqrt{\frac{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(x^2-1\right)-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\left(x^2-1\right)}{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(x^2-1\right)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\left(x^2-1\right)}}dx$

Let,$x^2-1=\theta \Rightarrow xdx=\frac{1}{2}d\theta$

$\Rightarrow I=\frac{1}{2}\int \sqrt{\frac{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\theta }{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta +\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\theta }}d\theta$

$=\frac{1}{2}\int \sqrt{\frac{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta -2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta +2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }}d\theta$

$=\frac{1}{2}\int \sqrt{\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }}d\theta$

$=\frac{1}{2}\int \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{\theta }{2}d\theta$

$=\frac{1}{2}\frac{{\log }_e\left(\sec \frac{\theta }{2}\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)}+c$, where$c$is the constant of integration.

$={\log }_e\left|{\sec }^2\left(\frac{x^2-1}{2}\right)\right|+c$