Mathematics - Differential Equation Question with Solution | TestHub

Given: $\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}+\mathrm{ax}=0$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}=-\mathrm{adt}$

Integrating both sides,

$\Rightarrow \int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}=-\mathrm{a}\int \mathrm{dt}$

$\Rightarrow \log \left|\mathrm{x}\right|=-\mathrm{at}+\mathrm{c}$

At $\mathrm{t}=0,\mathrm{x}=2$

$\Rightarrow \log 2=0+\mathrm{c}$

$\Rightarrow \mathrm{logx}=-\mathrm{at}+\log 2$

$\Rightarrow \mathrm{logx}-\log 2=-\mathrm{at}$

$\Rightarrow \log \left(\frac{x}{2}\right)=-\mathrm{at}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{x}}{2}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{at}}$

$\Rightarrow \mathrm{x}=2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{at}} ...\left(\mathrm{i}\right)$

It is also given that, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}+\mathrm{by}=0$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{y}}=-\mathrm{bdt}$

$\Rightarrow \log \left|\mathrm{y}\right|=-\mathrm{bt}+\mathrm{\lambda }$

At, $\mathrm{t}=0,\mathrm{y}=1$

$\Rightarrow 0=0+\lambda$

$\Rightarrow \mathrm{y}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{bt}} ...\left(\mathrm{ii}\right)$

According to question,

$3 y\left(1\right)=2 x\left(1\right)$

$\Rightarrow 3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{b}}=2\left(2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{a}}\right)$

$\Rightarrow {\mathrm{e}}^{\mathrm{a}-\mathrm{b}}=\frac{4}{3}$

$\text{For} x\left(t\right)=y\left(t\right)$

$\Rightarrow 2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{at}}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{bt}}$

$\Rightarrow 2={\mathrm{e}}^{(\mathrm{a}-\mathrm{b})\mathrm{t}}$

$\Rightarrow 2={\left(\frac{4}{3}\right)}^{\mathrm{t}}$

$\Rightarrow \log \left(2\right)=\mathrm{t}\times \log \left(\frac{4}{3}\right)$

$\Rightarrow {\log }_{\frac{4}{3}}2=\mathrm{t}$