Mathematics - Differential Equation Question with Solution | TestHub

$\left(1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{y}+\mathrm{y}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\mathrm{d}\mathrm{x}$
$\mathrm{d}\mathrm{y}+\mathrm{d}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}.\mathrm{y}\right)=\mathrm{d}\mathrm{x}$
$\mathrm{y}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}=\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{c}$
Now,$\mathrm{x}=0,\mathrm{ }\mathrm{y}=2$
$2.{\mathrm{e}}^0=0-2+\mathrm{c}$
$\Rightarrow \mathrm{c}=4$
Now,$\mathrm{y}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}=\mathrm{x}-\mathrm{y}+4$
$\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}+4}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+1}$
Now,$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+1\right)-\left(\mathrm{x}+4\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+1}$
$=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+1-\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-4{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+1}=\frac{1-\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-3{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+1}$
${\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)=-\mathrm{v}\mathrm{e}$
${\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(-1\right)=\frac{1+\mathrm{e}-3{\mathrm{e}}^{-1}}{{\mathrm{e}}^{-1}+1}=+\mathrm{v}\mathrm{e}$
Critical point in$\left(-1,\mathrm{ }0\right)$