Mathematics - Determinant Question with Solution | TestHub

${\mathrm{\Delta }}_1=\left|\begin{array}{cc}x& \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\theta }\\ -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\theta }& -x\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{\theta }& 1\end{array}\begin{array}{c}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{\theta }\\ 1\\ x\end{array}\right|$
$=x\left(-x^2-1\right)-sin\mathrm{\theta }\left(-x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\theta }-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{\theta }\right)+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{\theta }(-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\theta }+x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{\theta })$
$=-x^3-x+xsi{n}^2\theta +sin\theta \mathit{cos}\theta -sin\theta cos\theta +xco{s}^2\theta$
$=-x^3-x+x\left({\sin }^2\mathrm{\theta }+{\cos }^2\mathrm{\theta }\right)$
$=-x^3$
Similarly:${\mathrm{\Delta }}_2=-x^3$
$\therefore {\mathrm{\Delta }}_1+{\mathrm{\Delta }}_2=-2x^3$