Mathematics - Definite Integration Question with Solution | TestHub

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{I}}_1={\int }_{-\frac{1}{2}}^{1}2\mathrm{xf}(2\mathrm{x}(1-2\mathrm{x}))\mathrm{dx}\\ & \Rightarrow 2\mathrm{x}=\mathrm{t}\Rightarrow 2\mathrm{dx}=\mathrm{dt}\Rightarrow {\mathrm{I}}_1=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^2\mathrm{tf}(\mathrm{t}(1-\mathrm{t}))\mathrm{dt}\\ & \Rightarrow 2{\mathrm{I}}_1={\int }_{-1}^2(1-\mathrm{t})\mathrm{f}(1-\mathrm{t})(1-(1-\mathrm{t}))\mathrm{dt}\\ & \Rightarrow 2{\mathrm{I}}_1={\int }_{-1}^2\mathrm{f}(\mathrm{t}(1-\mathrm{t})\mathrm{dt}-{\int }_{-1}^2\mathrm{tf}(\mathrm{t}(1-\mathrm{t})\mathrm{dt}\\ & \Rightarrow 2{\mathrm{I}}_1={\mathrm{I}}_2-2{\mathrm{I}}_1\\ & \Rightarrow 4{\mathrm{I}}_1={\mathrm{I}}_2\\ & \Rightarrow \frac{{\mathrm{I}}_2}{{\mathrm{I}}_1}=4\end{array}$