Mathematics - Definite Integration Question with Solution | TestHub

Let$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}}{\overset{{\mathrm{x}}^2+\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\int }}2{\cos }^2\mathrm{t}\mathrm{ }\mathrm{d}\mathrm{t}$for all$\mathrm{x}\mathrm{ }\in \mathbb{R}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{ }\mathrm{f}\mathrm{ }:\mathrm{ }\left[0,\frac{1}{2}\right]\to \left[0,\mathrm{ }\mathrm{\infty }\right)$be a continuous function. For$\mathrm{a}\in \left[0,\frac{1}{2}\right],$if${\mathrm{F}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{a}\right)+2$is the area of the region bounded by$\mathrm{x}=0,\mathrm{ }\mathrm{y}=0,\mathrm{ }\mathrm{y}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{ }\mathrm{x}=\mathrm{a},$then$\mathrm{f}\left(0\right)$is