Mathematics - Continuity - Differentiability Question with Solution | TestHub

Given: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{a}\left(7\mathrm{x}-12-{\mathrm{x}}^2\right)}{\mathrm{b}\left|{\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}+12\right|}& ,\mathrm{x}<3\\ 2^{\frac{\sin (\mathrm{x}-3)}{\mathrm{x}-\left[\mathrm{x}\right]}}& ,\mathrm{x}>3\\ \mathrm{b}& ,\mathrm{x}=3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \mathrm{f}\left(3^{-}\right)=\frac{\mathrm{a}\left(7\mathrm{x}-12-{\mathrm{x}}^2\right)}{\mathrm{b}|{\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}+12|}$

$\Rightarrow \mathrm{f}\left(3^{-}\right)=\frac{-\mathrm{a}(\mathrm{x}-3)(\mathrm{x}-4)}{\mathrm{b}(\mathrm{x}-3)(\mathrm{x}-4)}$

$\Rightarrow \mathrm{f}\left(3^{-}\right)=\frac{-\mathrm{a}}{\mathrm{b}} ...\left(\mathrm{i}\right)$

Now, $\mathrm{f}\left(3^{+}\right)=2^{\underset{\mathrm{x}\to 3^{+}}{\lim }\left(\frac{\sin (\mathrm{x}-3)}{\mathrm{x}-3}\right)}$

$\Rightarrow \mathrm{f}\left(3^{+}\right)=2 ...\left(\mathrm{ii}\right)$

Also, $\mathrm{f}\left(3\right) = \mathrm{b} ...\left(\mathrm{iii}\right)$

It is given that $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ is continuous at $\mathrm{x}=3$.

Hence, $\mathrm{f}\left(3\right)=\mathrm{f}\left(3^{+}\right)=\mathrm{f}\left(3^{-}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{b}=2=\frac{-\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$

$\Rightarrow \mathrm{b}=2, \mathrm{a}=-4$

Hence, there is only $1$ elements in $\mathrm{S}$, which is ordered pair $(-4,2)$.