Mathematics - Continuity - Differentiability Question with Solution | TestHub

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)& \mathrm{x}>0\\ 0& \mathrm{x}=0\\ -\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)& \mathrm{x}<0\end{array}\right.$
$\mathrm{L}\mathrm{H}\mathrm{D}:\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\left(-{\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)\right)=-\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }{\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)=-0=0$
$\mathrm{R}\mathrm{H}\mathrm{D}:\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }{\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}\left(0^{+}\right)=0$
Hence$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$is differentiable at$\mathrm{x}=0$
$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\left|\mathrm{x}\right|}=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}& \mathrm{x}\ge 0\\ {\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}& \mathrm{x}<0\end{array}\right.$
$\mathrm{L}\mathrm{H}\mathrm{D}:\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }\left(-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)=-1$
$\mathrm{R}\mathrm{H}\mathrm{D}:\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)=1$
Hence$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)$is not differentiable at$\mathrm{x}=0$
$\mathrm{f}\left(\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\left\{\frac{{\mathrm{e}}^{\left|\mathrm{x}\right|}}{\left|{\mathrm{e}}^{\left|\mathrm{x}\right|}\right|}\right.\mathrm{g}\left({\mathrm{e}}^{\left|\mathrm{x}\right|}\right)$
$\mathrm{f}\left(\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{g}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)& \mathrm{x}\ge 0\\ \mathrm{g}\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)& \mathrm{x}<0\end{array}\right.$
$\mathrm{L}\mathrm{H}\mathrm{D}:\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }{\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)\times -{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{ }={\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}\left(1\right)\times -1=-{\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}\left(1\right)$
$\mathrm{R}\mathrm{H}\mathrm{D}:\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }{\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}={\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}\left(1\right)$
Hence foh is non-differentiable at$\mathrm{x}=0$
$\mathrm{h}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{x}=0\\ {\mathrm{e}}^{\left|\frac{\mathrm{x}}{\left|\mathrm{x}\right|}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right|}& \mathrm{x}\ne 0\end{array}\right.$
$=\left\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{x}=0\\ {\mathrm{e}}^{\left|\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right|}& \mathrm{x}\ne 0\end{array}\right.$
$\mathrm{L}\mathrm{H}\mathrm{D}:\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{\lim }{\mathrm{e}}^{\left|\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right|}\times \pm {\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\left|\mathrm{g}\left(0^{-}\right)\right|}\times \pm \left({\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}\left(0^{-}\right)\right)=0$
$\mathrm{R}\mathrm{H}\mathrm{D}:\mathrm{ }\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\lim }{\mathrm{e}}^{\left|\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right|}\times \pm {\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\left|\mathrm{g}\left(0^{+}\right)\right|}\times \pm {\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}\left(0^{+}\right)=0$