Mathematics - Binomial Theorem Question with Solution | TestHub

Given ${\left(1+x+2x^2\right)}^{20}=a_0+a_{1}x+\dots +a_{40}{x}^{40}$ 

Put $x=$$1$ we get, 

$a_0+a_1+a_2+\dots +a_{40}=4^{20}$

Put $x=-1$ we get, 

$a_0-a_1+a_2+\dots .+a_{40}=2^{20}$

$\Rightarrow a_1+a_3+\dots .+a_{39}=\frac{4^{20}-2^{20}}{2}$

$\Rightarrow a_1+a_3+\dots +a_{37}=2^{39}-2^{19}-a_{39}$

Here $a_{39}=\frac{20!(2{)}^{19}\times 1}{19!}=20\times 2^{19}$

$\Rightarrow a_1+a_3+\dots +a_{37}=2^{19}\left(2^{20}-1-20\right)$

$=2^{19}\left(2^{20}-21\right)$