Mathematics - Application of Derivative Question with Solution | TestHub

$f(\mathrm{x})=\frac{\log \mathrm{x}}{\mathrm{x}},\mathrm{g}(\mathrm{x})=1-\mathrm{x}$

(B) $f(\mathrm{x})=\mathrm{g}(\mathrm{x})\Rightarrow \frac{\log \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=(1-\mathrm{x})$ $\Rightarrow \mathrm{x}=1$ is the only solution

(C) $f(\mathrm{x})={\mathrm{g}}^2(\mathrm{x})\Rightarrow \frac{\log \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=(1-\mathrm{x}{)}^2$

one root is $x=1$ and let a be other root

Now, $f(2)<{\mathrm{g}}^2(2)\Rightarrow \mathrm{a}\in (1,2)$ ]

(D) $f(\mathrm{x})\mathrm{g}(\mathrm{x})<\mathrm{a}\forall \mathrm{x}>0$ $f(\mathrm{x})\mathrm{g}(\mathrm{x})=\frac{\ell \mathrm{nx}}{\mathrm{x}}(1-\mathrm{x})$ when $\mathrm{x}\hat{\mathrm{I}}(0,1)\Rightarrow {\ell }_{\mathrm{nx}}<0$

$\Rightarrow f(\mathrm{x})\mathrm{g}(\mathrm{x})<0$ when $\mathrm{x}\in (1,\infty )\Rightarrow \ln \mathrm{x}>0$

$\Rightarrow f(\mathrm{x})\mathrm{g}(\mathrm{x})<0\forall \mathrm{x}>0$